книга Высоцкого стр 23 задача 18

задача 18 стр 23 Высоцкого
При каких a множество решений неравенств (a^2-6a+8)x \le 3a-12 и (2a^2-a^3)x \ge 6a+7-4a^2 совпадают?

Решим первое неравенство

    \[(a^2-6a+8)x \le 3a-12\]

a^2-6a+8  <0 при a \in [2;4].
a^2-6a+8  =0 при a=2 или 4.

при a^2-6a+8 =0:
при a=2: 0*x \le 6-12=-6 — неверно, таких x нет.
при a=4: 0*x \le 12-12=0 верно при любом x \in R

при a^2-6a+8  >0 — т.е. при a<2 \cup a>4 — делим обе части на a^2-6a+8  >0 и
получаем x \le (3a-12)/(a^2-6a+8)=3(a-4)/(a-2)(a-4)=3/(a-2)
x \le 3/(a-2)

при a^2-6a+8  <0 т.е. при 2<a<4 делим обе части на a^2-6a+8  <0
получаем x \ge (3a-12)/(a^2-6a+8)=3(a-4)/(a-2)(a-4)=3/(a-2)
x \ge 3/(a-2)
————————————————————-
Решим второе неравенство

    \[(2a^2-a^3)x \ge 6a+7-4a^2\]

a^2(2-a)=0 : a=2 или a=0
Случай a=2: 0*x \ge 3 неверно, таких x нет — и это совпадает с первым неравенством.
Случай a=0: 0*x \ge 7 неверно, таких x нет

Случай a^2(2-a)>0, т.е. a \in (-\infty;0)\cup(0,2), делим обе части на a^2(2-a)>0
получаем x\ge (6a+7-4a^2)/a^2(2-a)

Случай a^2(2-a)<0, т.е. a>2, делим на a^2(2-a)<0
получаем x\le (6a+7-4a^2)/[a^2(2-a)]

сравниваем — при каких a одновременно x \ge чего-то? Пересечений по a нет.
сравниваем — при каких a одновременно x \le чего-то? Пересечение по a есть: a>4
Итак, при a>4 должен совпасть луч

    \[(6a+7-4a^2)/[a^2(2-a)] = 3/(a-2)\]

(6a+7-4a^2) = -3a^2
a^2-6a-7=0, т.е. a=-1 или a=7. Условию a>4 удовлетворяет a=7, т.е. при a=7 у обоих неравенств лучи совпадают.

Ответ: a=2 \cup a=7

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован.