Решение задания 17, вариант 19, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2018

В двух областях есть по 160 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,1 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи x кг алюминия в день требуется x^2 человеко-часов труда, а для добычи y кг никеля в день требуется y^2 человеко-часов труда.
Для нужд промышленности можно использовать или алюминий, или никель, причём 1 кг алюминия можно заменить 1 кг никеля. Какую наибольшую массу металлов можно добыть в двух областях суммарно для нужд промышленности?

Похожие варианты: 15, 24, 29, 31, 35

1я область: всего 800 человеко-часов
Пусть M — число человеко-часов, потраченных на добычу алюминия в 1й области
Тогда (800-M) — число человеко-часов, потраченных на добычу никеля в 1й области
Тогда 0,1*M — число добытых килограмм алюминия в 1й области за сутки
Тогда 0,1*(800-M) — число добытых килограмм никеля в 1й области за сутки
2я область: всего 800 человеко-часов
Пусть N — число человеко-часов, потраченных на добычу алюминия в 2й области
Тогда (800-N) — число человеко-часов, потраченных на добычу никеля в 2й области
Тогда \sqrt{N} — число добытых килограмм алюминия в 2й области за сутки
Тогда \sqrt{800-N} — число добытых килограмм никеля в 2й области за сутки

Масса добытого в сумме в двух областях алюминия за сутки:

    \[0,1*M + \sqrt{N}\]

Масса добытого в сумме в двух областях никеля за сутки:

    \[0,1*(800-M) + \sqrt{800-N}\]

Условие 1:1 , пример: 150 кг алюминия можно заменить 150 кг никеля:

(1)   \begin{equation*} 0,1*M + \sqrt{N}=0,1*(800-M) + \sqrt{800-N} \end{equation*}

Полная масса сплава из никеля и алюминия за сутки как функция двух переменных (M,N):

(2)   \begin{equation*} F(M,N) = 0,1*M + \sqrt{N}  + 0,1*(800-M) + \sqrt{800-N}=80+ \sqrt{N} + \sqrt{800-N} \end{equation*}

Случайно оказалось (так подобраны цифры), что полная масса сплава не зависит от M, но зависит от N.
Найдем максимум F(M,N), возьмем производную по N, приравняем к нулю и поймем, это максимум или минимум:

    \[F^{'}_N(M,N)=\frac{1}{2\sqrt{N}} + \frac{-1}{2\sqrt{800-N}}=0\]

    \[\frac{1}{\sqrt{N}}=\frac{1}{\sqrt{800-N}}\]

    \[\sqrt{N}=\sqrt{800-N}\]

    \[N=800-N\]

    \[N=400\]

Это действительно максимум, т.к. сравним значения на концах отрезка N=0, N=800 и при N=400:

    \[F(M,400)=80+\sqrt{400}+\sqrt{800-400}=80+20+20=120\]

    \[F(M,0)=F(M,800)=80+\sqrt{0}+\sqrt{800}=80+20\sqrt{2} < 120\]

Детальный разбор с графиками будет на вебинарах. Приходи! Подпишись на уведомление о ближайшем вебинаре — кнопка в колонке слева 🙂

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован.