Решение задания 14, вариант 1, Ященко 36 вариантов (профиль), ЕГЭ-2018. Ответ.

На ребре SA правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD отмечена точка М, причём SM : МА = 5:1. Точки P и Q — середины рёбер ВС и AD соответственно.

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью MPQ является равнобедренной трапецией.

б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость MPQ разбивает пирамиду.

Трехмерная картинка, которую можно крутить в 3D, доступна по ссылке https://ggbm.at/p7evdhgk

Прямая PQ параллельна прямой AB, значит прямая PQ параллельна плоскости SAB (т.16.3 Погорелова, стр 241, признак параллельности прямой и плоскости). Плоскость PMQ должна пересечь плоскость SAB по некоторой прямой MN, которая должна быть построена как параллельная PQ. Почему? Потому что: 1) точки P,Q,M,N лежат в одной плоскости сечения, 2) т.к. прямая PQ параллельна плоскости SAB, то не имеет с ней общих точек. Значит прямые PQ и MN не имеют общих точек, и при этом лежат в одной плоскости (сечения). Как называются такие прямые? Параллельные!

Таким образом PQMN — трапеция. Докажем, что она равнобедренная.

Т.к. PQ||MN (по предыдущим рассуждениям), то, по теореме о пропорциональных отрезках SM:MA=SN:NB
Т.к. SA=SB \Rightarrow MA=NB
Т.к. P и Q — середины сторон квадрата, то PB=QA.
Треугольники MAQ и NBP равны, т.к. MA = NB, QA = PB, и \angle MAQ=\angle NBP (пирамида правильная и и у нее боковые грани — равные треугольники), поэтому MQ = NP,и трапеция MNPQ равнобедренная.

Пусть объём пирамиды SABCD равен V. Пятигранник AMQBNP состоит из четырёхугольной пирамиды MABPQ с основанием ABPQ и треугольной пирамиды MBNP с основанием BNP.

Расстояние от точки М до плоскости BNP относится к расстоянию от точки A до этой плоскости как 5:6: MN=\frac56AB, а расстояния от точек M и N до плоскости BNP пропорциональны длинам MN и AB, т.к. MN||AB, а эти расстояния есть длины перпендикуляров при наклонных MN и AB, которые наклонены к плоскости BNP под одним и тем же углом. Площади треугольников BNP и SBC относятся как 1:12. Значит, отношение объёмов пирамид MBNP и ASBC равно 5:72, то есть объём пирамиды MBNP равен \frac{5V}{144} .

Площадь прямоугольника ABPQ составляет половину площади квадрата ABCD. Расстояние от точки М до плоскости ABCD относится к расстоянию от точки S до этой плоскости как 1: 6, поэтому объём пирамиды MABPQ равен \frac{V}{12}.

Таким образом, объём AMQBNP равен то есть отношение объёмов многогранников AMQBNP и CDSNPQM равно 17 : 127.

Ответ: \frac{17}{127}.



Вы тонете в океане математики и физики? Давайте спасаться вместе!
Получи запись бесплатного вебинара
с разбором задач, которые были на реальном ЕГЭ-2019 (29 мая 2019г.),
получи условия и ссылки на решения некоторых задач
с реальных ЕГЭ-2017 (2 июня 2017) и ЕГЭ-2018 (26 июня 2018),
получи видеоразбор решений 11й,12й,13й,14й,15й, 16й,17й,18й задач
из варианта 7 книжки "Ященко 36 вариантов 2019",
видеозаписи прошлых вебинаров

Получить ссылки на вебинар и на видео. Нажимай!
C уважением, репетитор Павел Коваленко,
создатель сайта ege-resheniya.ru